Двугранные углы и формула для их вычисления. Двугранный угол при основании четырехугольной правильной пирамиды. Построить линейный угол двугранного угла ВDСК Свойства линейных углов двугранного угла

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.8. Двугранный угол и его линейный угол

Плоскость разделяется лежащей в ней прямой на две полуплоскости.

Определение 1

Фигура, образованная двумя полуплоскостями, выходящими из одной прямой, вместе с частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями, называется двугранным углом. Полуплоскости называются гранями, а их общая прямая - ребром двугранного угла.

Грани двугранного угла делят пространство на две области: внутреннюю область данного двугранного угла и его внешнюю область.

Определение 2

Два двугранных угла называются равными, если один из них можно совместить с другим так, что совместятся их внутренние области.

Определение 3

Угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки ребра, называется линейным углом двугранного угла.

1 . Угол (), получающийся при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру, есть линейный угол данного двугранного угла.

2 . Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на ребре, т. е. .

3 . Линейные углы равных двугранных углов равны (следует из определений 2 и 3).

Определение 4

Из двух двугранных углов тот называется большим (меньшим), который имеет больший (меньший) линейный угол. За единицы измерения двугранных углов принимают такие двугранные углы, линейные углы которых равны

ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

V. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ, УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ,
УГОЛ ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ, МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Двугранные углы

38. Определения. Часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, называется полуплоскостью . Фигура, образованная двумя полуплоскостями (Р и Q, черт. 26), исходящими из одной прямой (АВ), называется двугранным углом . Прямая АВ называется ребром , а полуплоскости Р и Q - сторонами или гранями двугранного угла.

Такой угол обозначается обыкновенно двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежат нисколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, а две крайние - у граней (например, двугранный угол SCDR) (черт. 27).

Если из произвольной точки D ребра АВ (черт. 28) проведём на каждой грани по перпендикуляру к ребру, то образованный ими угол CDE называется линейным углом двугранного угла.

Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на ребре. Так, линейные углы CDE и C 1 D 1 E 1 равны, потому что их стороны соответственно параллельны и одинаково направлены.

Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру, так как она содержит две прямые, перпендикулярные к нему. Поэтому для получения линейного угла достаточно грани данного двугранного угла пересечь плоскостью, перпендикулярной к ребру, и рассмотреть получившийся в этой плоскости угол.

39. Равенство и неравенство двугранных углов. Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из двугранных углов считается меньшим, который составит часть другого угла.

Подобно углам в планиметрии, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом .

Теоремы. 1) Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2) Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Пусть РАВQ, и Р 1 А 1 В 1 Q 1 (черт. 29)-два двугранных угла. Вложим угол А 1 В 1 в угол АВ так, чтобы ребро А 1 В 1 совпало с ребром АВ и грань Р 1 с гранью Р.

Тогда если эти двугранные углы равны, то грань Q 1 совпадёт с гранью Q; если же угол А 1 В 1 меньше угла АВ, то грань Q 1 займёт некоторое положение внутри двугранного угла, например Q 2 .

Заметив это, возьмём на общем ребре какую-нибудь точку В и проведём через неё плоскость R, перпендикулярную к ребру. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы. Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол CBD; если же двугранные углы не совпадут, если, например, грань Q 1 займёт положение Q 2 , то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно: / CBD > / C 2 BD).

40. Обратные теоремы. 1) Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2) Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол .

Эти теоремы легко доказываются от противного.

41. Следствия. 1) Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.

Пусть (черт. 30) двугранный угол PABQ прямой. Это значит, что он равен смежному углу QABP 1 . Но в таком случае линейные углы CDE и CDE 1 также равны; а так как они смежные, то каждый из них должен быть прямой. Обратно, если равны смежные линейные углы CDE и CDE 1 , то равны и смежные двугранные углы, т. е. каждый из ни должен быть прямой.

2) Bcе прямые двугранные углы равны, лотому что у них равны линейные углы.

Подобным же образом легко доказать, что:

3) Вертикальные двугранные углы равны .

4) Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково (или противоположно) направленными гранями равны.

5) Если за единицу двугранных углов возьмём такой двугранный угол, который соответствует единице линейных углов, то можно сказать, чтo двугранный угол измеряется его линейным углом.

Понятие двугранного угла

Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.

Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях -- по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1).

Рисунок 1.

На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.

Определение 1

Фигура называется двугранным углом , если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.

При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями , а прямая, разделяющая полуплоскости -- ребром двугранного угла (рис. 1).

Рисунок 2. Двугранный угол

Градусная мера двугранного угла

Определение 2

Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3).

Рисунок 3.

Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.

Теорема 1

Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1{OB}_1$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Так как лучи $OA$ и ${OA}_1$ лежат в одной полуплоскости $\alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и ${OB}_1$ лежат в одной полуплоскости $\beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно

\[\angle AOB=\angle A_1{OB}_1\]

В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.

Теорема доказана.

Определение 3

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.

Примеры задач

Пример 1

Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta $. $AB$ -- перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $\alpha $ (точка $C$ принадлежит $\alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла.

Доказательство.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Рисунок 5.

Для доказательства вспомним следующую теорему

Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.

Так как $AC$ - перпендикуляр к плоскости $\alpha $, то точка $C$ - проекция точки $A$ на плоскость $\alpha $. Следовательно, $BC$ -- проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла.

Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла.

Пример 2

Двугранный угол равен $30^\circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.

Решение.

Будем рассматривать рисунок 5.

По условию, имеем $AC=4\ см$.

По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла

\[\frac{AC}{AB}=sin{30}^0\] \[\frac{5}{AB}=\frac{1}{2}\] \

$\blacktriangleright$ Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой $a$ , которая является их общей границей.

$\blacktriangleright$ Чтобы найти угол между плоскостями $\xi$ и $\pi$ , нужно найти линейный угол (причем острый или прямой ) двугранного угла, образованного плоскостями $\xi$ и $\pi$ :

Шаг 1: пусть $\xi\cap\pi=a$ (линия пересечения плоскостей). В плоскости $\xi$ отметим произвольную точку $F$ и проведем $FA\perp a$ ;

Шаг 2: проведем $FG\perp \pi$ ;

Шаг 3: по ТТП ($FG$ – перпендикуляр, $FA$ –наклонная, $AG$ – проекция) имеем: $AG\perp a$ ;

Шаг 4: угол $\angle FAG$ называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $\xi$ и $\pi$ .

Заметим, что треугольник $AG$ – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость $AFG$ , построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям $\xi$ и $\pi$ . Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями $\xi$ и $\pi$ - это угол между двумя пересекающимися прямыми $c\in \xi$ и $b\in\pi$ , образующими плоскость, перпендикулярную и $\xi$ , и $\pi$ .

Задание 1 #2875

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите $6\cos \alpha$ , где $\alpha$ – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть $SABCD$ – данная пирамида ($S$ – вершина), ребра которой равны $a$ . Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями $SAD$ и $SCD$ .

Проведем $CH\perp SD$ . Так как $\triangle SAD=\triangle SCD$ , то $AH$ также будет высотой в $\triangle SAD$ . Следовательно, по определению $\angle AHC=\alpha$ – линейный угол двугранного угла между гранями $SAD$ и $SCD$ .
Так как в основании лежит квадрат, то $AC=a\sqrt2$ . Заметим также, что $CH=AH$ – высота равностороннего треугольника со стороной $a$ , следовательно, $CH=AH=\frac{\sqrt3}2a$ .
Тогда по теореме косинусов из $\triangle AHC$ : \[\cos \alpha=\dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CH\cdot AH}=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Ответ: -2

Задание 2 #2876

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ пересекаются под углом, косинус которого равен $0,2$ . Плоскости $\pi_2$ и $\pi_3$ пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$ параллельна линии пересечения плоскостей $\pi_2$ и $\pi_3$ . Найдите синус угла между плоскостями $\pi_1$ и $\pi_3$ .

Пусть линия пересечения $\pi_1$ и $\pi_2$ – прямая $a$ , линия пересечения $\pi_2$ и $\pi_3$ – прямая $b$ , а линия пересечения $\pi_3$ и $\pi_1$ – прямая $c$ . Так как $a\parallel b$ , то $c\parallel a\parallel b$ (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” $\rightarrow$ “Введение в стереометрию, параллельность”).

Отметим точки $A\in a, B\in b$ так, чтобы $AB\perp a, AB\perp b$ (это возможно, так как $a\parallel b$ ). Отметим $C\in c$ так, чтобы $BC\perp c$ , следовательно, $BC\perp b$ . Тогда $AC\perp c$ и $AC\perp a$ .
Действительно, так как $AB\perp b, BC\perp b$ , то $b$ перпендикулярна плоскости $ABC$ . Так как $c\parallel a\parallel b$ , то прямые $a$ и $c$ тоже перпендикулярны плоскости $ABC$ , а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой $AC$ .

Отсюда следует, что $\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)$ , $\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ$ , $\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)$ . Получается, что $\triangle ABC$ прямоугольный, а значит \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Ответ: 0,2

Задание 3 #2877

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даны прямые $a, b, c$ , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен $60^\circ$ . Найдите $\cos^{-1}\alpha$ , где $\alpha$ – угол между плоскостью, образованной прямыми $a$ и $c$ , и плоскостью, образованной прямыми $b$ и $c$ . Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке $O$ . Так как угол между любыми двумя их них равен $60^\circ$ , то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой $a$ точку $A$ и проведем $AB\perp b$ и $AC\perp c$ . Тогда $\triangle AOB=\triangle AOC$ как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $OB=OC$ и $AB=AC$ .
Проведем $AH\perp (BOC)$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . Так как $AB=AC$ , то $\triangle AHB=\triangle AHC$ как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, $HB=HC$ . Значит, $OH$ – биссектриса угла $BOC$ (так как точка $H$ равноудалена от сторон угла).

Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми $a$ и $c$ , и плоскостью, образованной прямыми $b$ и $c$ . Это угол $ACH$ .

Найдем этот угол. Так как точку $A$ мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что $OA=2$ . Тогда в прямоугольном $\triangle AOC$ : \[\sin 60^\circ=\dfrac{AC}{OA} \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=1.\] Так как $OH$ – биссектриса, то $\angle HOC=30^\circ$ , следовательно, в прямоугольном $\triangle HOC$ : \[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{HC}{OC}\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1{\sqrt3}.\] Тогда из прямоугольного $\triangle ACH$ : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^{-1}\alpha=3.\]

Ответ: 3

Задание 4 #2910

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ пересекаются по прямой $l$ , на которой лежат точки $M$ и $N$ . Отрезки $MA$ и $MB$ перпендикулярны прямой $l$ и лежат в плоскостях $\pi_1$ и $\pi_2$ соответственно, причем $MN = 15$ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Найдите $3\cos\alpha$ , где $\alpha$ – угол между плоскостями $\pi_1$ и $\pi_2$ .

Треугольник $AMN$ прямоугольный, $AN^2 = AM^2 + MN^2$ , откуда \ Треугольник $BMN$ прямоугольный, $BN^2 = BM^2 + MN^2$ , откуда \ Запишем для треугольника $AMB$ теорему косинусов: \ Тогда \ Так как угол $\alpha$ между плоскостями – это острый угол, а $\angle AMB$ получился тупым, то $\cos\alpha=\dfrac5{12}$ . Тогда \

Ответ: 1,25

Задание 5 #2911

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – параллелепипед, $ABCD$ – квадрат со стороной $a$ , точка $M$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A_1$ на плоскость $(ABCD)$ , кроме того $M$ – точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$ . Известно, что $A_1M = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ . Найдите угол между плоскостями $(ABCD)$ и $(AA_1B_1B)$ . Ответ дайте в градусах.

Построим $MN$ перпендикулярно $AB$ как показано на рисунке.

Так как $ABCD$ – квадрат со стороной $a$ и $MN\perp AB$ и $BC\perp AB$ , то $MN\parallel BC$ . Так как $M$ – точка пересечения диагоналей квадрата, то $M$ – середина $AC$ , следовательно, $MN$ – средняя линия и $MN =\frac12BC= \frac{1}{2}a$ .
$MN$ – проекция $A_1N$ на плоскость $(ABCD)$ , причем $MN$ перпендикулярен $AB$ , тогда по теореме о трех перпендикулярах $A_1N$ перпендикулярен $AB$ и угол между плоскостями $(ABCD)$ и $(AA_1B_1B)$ есть $\angle A_1NM$ .
\[\mathrm{tg}\, \angle A_1NM = \dfrac{A_1M}{NM} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^{\circ}\]

Ответ: 60

Задание 6 #1854

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате $ABCD$ : $O$ – точка пересечения диагоналей; $S$ – не лежит в плоскости квадрата, $SO \perp ABC$ . Найдите угол между плоскостями $ASD$ и $ABC$ , если $SO = 5$ , а $AB = 10$ .

Прямоугольные треугольники $\triangle SAO$ и $\triangle SDO$ равны по двум сторонам и углу между ними ($SO \perp ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ$ ; $AO = DO$ , т.к. $O$ – точка пересечения диагоналей квадрата, $SO$ – общая сторона) $\Rightarrow$ $AS = SD$ $\Rightarrow$ $\triangle ASD$ – равнобедренный. Точка $K$ – середина $AD$ , тогда $SK$ – высота в треугольнике $\triangle ASD$ , а $OK$ – высота в треугольнике $AOD$ $\Rightarrow$ плоскость $SOK$ перпендикулярна плоскостям $ASD$ и $ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SKO$ – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

В $\triangle SKO$ : $OK = \frac{1}{2}\cdot AB = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5 = SO$ $\Rightarrow$ $\triangle SOK$ – равнобедренный прямоугольный треугольник $\Rightarrow$ $\angle SKO = 45^\circ$ .

Ответ: 45

Задание 7 #1855

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате $ABCD$ : $O$ – точка пересечения диагоналей; $S$ – не лежит в плоскости квадрата, $SO \perp ABC$ . Найдите угол между плоскостями $ASD$ и $BSC$ , если $SO = 5$ , а $AB = 10$ .

Прямоугольные треугольники $\triangle SAO$ , $\triangle SDO$ , $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$ равны по двум сторонам и углу между ними ($SO \perp ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ$ ; $AO = OD = OB = OC$ , т.к. $O$ – точка пересечения диагоналей квадрата, $SO$ – общая сторона) $\Rightarrow$ $AS = DS = BS = CS$ $\Rightarrow$ $\triangle ASD$ и $\triangle BSC$ – равнобедренные. Точка $K$ – середина $AD$ , тогда $SK$ – высота в треугольнике $\triangle ASD$ , а $OK$ – высота в треугольнике $AOD$ $\Rightarrow$ плоскость $SOK$ перпендикулярна плоскости $ASD$ . Точка $L$ – середина $BC$ , тогда $SL$ – высота в треугольнике $\triangle BSC$ , а $OL$ – высота в треугольнике $BOC$ $\Rightarrow$ плоскость $SOL$ (она же плоскость $SOK$ ) перпендикулярна плоскости $BSC$ . Таким образом получаем, что $\angle KSL$ – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$ $\Rightarrow$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$ . Можно заметить, что $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$ $\Rightarrow$ для треугольника $\triangle KSL$ выполняется обратная теорема Пифагора $\Rightarrow$ $\triangle KSL$ – прямоугольный треугольник $\Rightarrow$ $\angle KSL = 90^\circ$ .

Ответ: 90

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.

Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.

Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.

Следующий шаг - нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.

Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» - залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на , представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

Данный урок предназначается для самостоятельного изучения темы «Двугранный угол». В ходе этого занятия учащиеся познакомятся с одной из самых важных геометрических фигур - двугранным углом. Также на уроке нам предстоит узнать о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры и какой бывает двугранный угол при основании фигуры.

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рис. 1. Плоскость

Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча - ОВ и ОА .

Определение . Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Рис. 2. Радиан

Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).

Связь радианов и градусов.

рад.

Получаем, рад. (). Тогда,

Определение . Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница - а . Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β - это грани двугранного угла.

Прямая а - это ребро двугранного угла.

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а . Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а . Получили угол АОВ , который называется линейным углом двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О 1 на прямой а . Построим линейный угол соответствующий точке О , т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а . Получаем угол АОВ - линейный угол двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Из точки О 1 проведем два перпендикуляра ОА 1 и ОВ 1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А 1 О 1 В 1 .

Лучи О 1 А 1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а .

Аналогично, лучи О 1 В 1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠ АОВ = ∠ А 1 О 1 В 1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать : а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство :

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ , значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ , что и требовалось доказать.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7. Прямой угол

Рис. 8. Тупой угол

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

АВС D - тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ .

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Построение :

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВ D и АВС (рис. 9).

Проведем прямую D Н перпендикулярно плоскости АВС , Н - основание перпендикуляра. Проведем наклонную D М перпендикулярно прямой АВ, М - основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ .

То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВ D и АВС . Мы получили линейный угол D МН .

Заметим, что АВ , ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости D МН . Задача решена.

Замечание . Двугранный угол можно обозначить следующим образом: D АВС , где

АВ - ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС .

Проведем перпендикуляр D Н к плоскости АВС и наклонную D N перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN - проекция наклонной D N на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС. D NН - линейный угол двугранного угла с ребром АС .

В тетраэдре D АВС все ребра равны. Точка М - середина ребра АС . Докажите, что угол D МВ - линейный угол двугранного угла ВАС D , т. е. двугранного угла с ребром АС . Одна его грань - АС D , вторая - АСВ (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Решение :

Треугольник ADC - равносторонний, DM - медиана, а значит и высота. Значит, D М ⊥ АС. Аналогично, треугольник A В C - равносторонний, В M - медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.

Значит, ∠DM В - линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.

Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"

Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.

Yaklass.ru ().
E-science.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

АВС D - тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) В D б) D С.

АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Постройте линейный угол двугранного угла А 1 АВС с ребром АВ . Определите его градусную меру.